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Auf der niedrigsten Stufe ist Geometrie »die Erfassung des Raumes, in dem das Kind lebt, atmet, sich bewegt, den es kennen lernen muss, den es erforschen und erobern muss, um besser in ihm leben, atmen und sich bewegen zu können.«[1] »Geometrie, wenn sie als Erfassung des Raumes anfängt, ist [...] eng verbunden mit einer Realität, an die man tagtäglich erinnert wird. Geometrie, so aufgefasst, kann ein ausgezeichnetes Mittel sein, beziehungshaltige Mathematik zu lehren.« [2]
»Fragen die Kinder warum? Von seltenen Ausnahmen abgesehen, nein! Alle diese Wunder unseres Raumes scheinen keinen Eindruck zu hinterlassen. Sie mahlen langsam, aber trefflich klein. Die größte pädagogische Tugend ist Geduld. Eines schönen Tages fragt das Kind „Warum?“, und eher braucht systematische Geometrie nicht anzufangen. Es kann sogar abträglich sein, wenn sie eher anfängt. Der Schlüssel zur Geometrie ist das Wort „warum“. Nur Spielverderber werden es vorzeitig verraten.«[3]
Auf der nullten Stufe »kann das Kind in der Geometrie lange bleiben, ehe es dazu kommt, seine Tätigkeit auf nullter Stufe zu objektivieren. Es gibt ihrer nicht wenige, die es auf der nullten Stufe ausgezeichnet treiben und niemals aufsteigen. Dass es ihnen nicht gelingt, kann daran liegen, dass man sie zu früh auf eine höhere Stufe drängte und ihnen mit Algorithmen half, die höhere Stufe zu simulieren.«[4]
»Geometrie ist zu retten, wenn der Schüler sie als ein Tätigkeitsgebiet erleben darf; präfabriziert stirbt sie im Unterricht den Erstickungstod.«[5]
»Der Raum mit seinen Körpern ist konkreter als die Ebene mit ihren Figuren. In der Ebene kommt man schneller zur logischen Analyse, der Raum [...] begünstigt mehr die schöpferische Tätigkeit. Figuren zeichnet man, Körper baut man.«[6]
Auch Gerhard Holland »vertritt [...] mit Entschiedenheit die Auffassung, dass ein deduktiver Aufbau der Geometrie für den Geometrieunterricht in der Schule weder möglich noch sinnvoll ist. Unter dieser Voraussetzung darf die der Hintergrundstheorie notwendig innewohnende Systematik bei der Organisation von Lernsequenzen für den Geometrieunterricht in der Schule nur eine untergeordnete Rolle spielen.« Da im Geometrieunterricht an keiner Stelle die »ontologische Bindung der Axiome an den Raum unserer Anschauung« verlassen werden darf, ist „Geometrie“ »eher ein Teilgebiet der klassischen theoretischen Physik denn als eine Theorie „strukturierter Mengen“ zu verstehen. Mit Sicherheit ist dies der natürliche Aspekt, unter dem ein Schüler Geometrie betreibt.«[7]
Holland empfiehlt die konstruktive Methode der Begriffsbildung; sie habe sich im Geometrieunterricht der Schule bewährt und durchgesetzt. Die konstruktive Methode lässt die geometrischen Begriffe »nicht durch Abstraktion aus einer hinreichenden Anzahl von Beispielen« gewinnen, »sondern durch Erzeugung der unter den Begriff fallenden Objekte auf Grund einer Konstruktion.«[8]
Auf die Frage, woher die Geometrie ihre „Gegenstände“ habe, hat es verschiedene Antworten gegeben. »Bei Platon sind die Gegenstände der Geometrie Ideen, die von der Seele geschaut wurden und an die man sich als Geometer nur zu erinnern braucht« (Staat VI, 510c-511b). »Euklid definiert explizit, was „Punkt“, „Gerade“ usw. sind [...]. Hilbert [...] lässt völlig offen, was diese Gegenstände sind. Es genügt, sich drei „Systeme von Dingen“ zu denken, für die seine Axiome erfüllt sind, und sie einfach „Punkte“, „Geraden“ und „Ebenen“ zu nennen.« Woran man dann »beim Geometrietreiben, also beim Deduzieren aus diesen Axiomen« denkt, »sei für die Wahrheit der Sätze der Geometrie irrelevant, wenn das Axiomensystem nur widerspruchsfrei ist, das heißt wenn es mindestens eine unableitbare Aussage gibt. Dies allein sei für ihn das „Criterium der Wahrheit und der Existenz“, schrieb er an Frege, der eine Kritik an dem definitionstheoretischen „Unsinn“ der von Hilbert so genannten „impliziten Definitionen“ geäußert hatte.«[9]
Inhetveen schlägt den im Folgenden skizzierten konstruktiven Zugang zur Geometrie vor:
Ausgangspunkt ist eine »alltagsweltliche Tätigkeitsform, und zwar die uralte Technik, an vorfindbaren Körpern die Oberflächen auf bestimmte Weise zu formen bzw. Körper mit geeignet geformten Oberflächen, z. B. Ziegelsteine, allererst herzustellen. Diese Formungstechnik bedient sich der verschiedensten Verfahren, wie Gießen, Pressen, Fräsen, Hobeln, Schleifen usw. In jedem Fall folgt sie jedoch gewissen Regeln, Kunstregeln, die zu kontrollieren gestatten, ob man bei der Formgebung gut gearbeitet hat. Der erste Schritt auf die Geometrie hin besteht darin, diese Regeln „auf den Begriff zu bringen“. Man kann das dafür erforderliche Vokabular direkt aus der Formungspraxis entnehmen, also die Wörter „Körper“, „Oberfläche“, „Berührung“, „aufeinander passend“ als im Vollzug der Formungstätigkeit gelernt unterstellen, gerade so, wie man die Unterscheidungen der Kochkunst am einfachsten und sichersten durch die Zubereitung und den Verzehr von Gekochtem - eventuell unter Anleitung eines Meisters - erlernt. Es handelt sich ja noch um ein theoriefreies Gebrauchsvokabular, das empragmatisch kontrolliert wird: Erfolg und Misserfolg der geplanten Tätigkeiten geben verlässlich Auskunft, ob die benötigten Wörter ausreichend verstanden wurden.
Welches sind nun die Kunstregeln der Formungstechnik? Ich formuliere hier nur exemplarisch eine der wichtigsten, die sogenannte Regel der schwachen (oder viergliedrigen) Transitivität. Sie besagt, dass ein Körper, der auf einen zweiten Körper passt, auch auf einen weiteren vierten Körper passt, vorausgesetzt, der zweite Körper passt auf einen dritten, der seinerseits auf diesen vierten Körper passt. Dass man dieser Regel folgt, ist dann vernünftig, wenn man Körperformen reproduzierbar herstellen will. Es soll dann nämlich so sein, dass ein „Abdruck“ von einem „Abdruck“ eines Körpers eine Kopie des Originals ist.« Wenn eine fehlerhafte Kopie entsteht, wird man »nach einem Fehler im Herstellungsverfahren suchen und es gegebenenfalls verändern. Aber man wird nicht sagen, es hätte sich herausgestellt, dass die Regel der schwachen Transitivität „empirisch nicht gilt“. Dass eine dieser Regel folgende Technik immer wieder gelingt, ist der vernünftige Grund, an ihrer Erfüllung festzuhalten. Natürlich gelingt die Technik nicht vollkommen. [...] Aber [...] sie technisch hinreichend gut zu erfüllen, ist möglich [...]. Die Geometrie entsteht nun aus dieser Formungs- und Passungstechnik durch die methodische Unterstellung, dass die Regeln „vollkommen“ oder „ideal“ erfüllt würden. Sie ist mit anderen Worten eine besondere Redeweise über „ideale“ Körper, in der Sätze formuliert und bewiesen werden, mit deren Hilfe man anschließend reale Körper auf die Güte der Realisierung idealer Formen untersuchen kann. Was dabei eine ideale Form ist, wird explizit definiert.« Beispiel: »Ein Oberflächenstück des Körpers K heißt „eben“, wenn es zu einem Abdruck von K passungsgleich und passend verschiebbar ist, das heißt, wenn es einen Körper Kú gibt, zu dem K und der Abdruck von K passen, und wenn überdies K auf seinem Abdruck so verschiebbar ist, dass die jeweils berührenden Oberflächen immer aufeinander passen. Allein aufgrund dieser Definition und der Unterstellung idealer Regelerfüllung lässt sich dann beweisen, dass je zwei Ebenenstücke aufeinander passen, das heißt, dass die Ebene eine eindeutige Form ist. Ganz analog geht es dann bei der Definition der weiteren Formen: stets hat dieser Definition der Eindeutigkeitsbeweis zu folgen, damit wir zu Recht von einer Form sprechen. Und die Geometrie selbst ist nichts anderes als die Theorie dieser Formen. Sie ist eine Theorie idealer Gebilde, und ihre Sprache beruht auf einer Ideation, auf der methodischen Unterstellung der vollständigen Erfüllung bestimmter Regeln für den Umgang mit realen Körpern. Ebenso wie die Abstraktion ist die Ideation ein logischer und nicht ein psychologischer Vorgang.« [10]
Auch Inhetveen wählt also einen »konstruktiven Zugang zur [...] Geometrie. Er ist unter anderem gekennzeichnet durch den Rückgang auf vorwissenschaftliche und nichtsprachliche Kulturtechniken als Ausgangspunkt bei der Schaffung der Gegenstände der Mathematik. Die Konstruktion und Abstraktion einerseits, die normative Ideation andererseits stellen die Anwendbarkeit mathematischer Resultate auf Probleme, die mit diesen Techniken in Zusammenhang stehen, von vornherein methodisch sicher. Man kann kurz sagen: Das Anwendungsproblem gibt es nicht.«[11]
»Umwelterschließung im hier vertretenen Sinne erschöpft sich nicht in der Präsentation umweltlicher Situationen als Einstiege (von denen man eine Motivation der Schüler erhofft) und auch nicht im Anbieten von „lebensnahen Anwendungsaufgaben“, die einer Theorie nachgereicht werden und diese festigen sollen. Es geht darüber hinaus und vielmehr darum, die Beziehungen zwischen erfahrbarer Wirklichkeit und Geometrie durchgehend aufzudecken und zu nutzen, um dadurch gleichzeitig umweltliche und geometrische Sachverhalte in wechselseitiger Stützung zu entwickeln. Dieses beziehungshaltige Wechselspiel kann als doppelte Modellierung angesehen werden: geometrische Begriffssysteme bilden idealisierte Modelle von Wirklichkeitsausschnitten, und umgekehrt sind Phänomene der Wirklichkeit Verkörperungen geometrischer Sachverhalte.«
Begründung für Umwelterschließung im Geometrieunterricht:
1. Die Erfahrungswirklichkeit ist »wohl die wichtigste Anregerin für geometrische Fragestellungen.«
2. »Durch den Wirklichkeitsbezug [wird] die Intuition des lernenden Schülers viel stärker angesprochen als in einem sich selbst genügenden Geometrieunterricht; und ohne pflegliche Einbeziehung der Intuition ist ein kreativer, sinnstiftende und dauerhafte Erkenntnisse sichernder, wirkliches Interesse weckender und auf Allgemeinbildung hinzielender Geometrieunterricht undenkbar.«
3. Die Schüler können die »Geometrie in ihrer praktischen Nutzbarkeit erfahren.«
4. Der Wirklichkeitsbezug sichert »eine stärkere Konzentration auf substantielle Inhalte und arbeitet damit der Gefahr entgegen, dass der Geometrieunterricht zu einem Terminologie-Kurs entartet.«
5. Wirklichkeitsorientierung erzwingt »eine ständige Reaktivierung und Reorganisierung des vorhandenen Wissens, was damit an Beweglichkeit und Verfügbarkeit gewinnt.« »Umwelterschließung im Geometrieunterricht [stellt] hohe Anforderungen in fachlicher und methodisch-didaktischer Hinsicht an den Unterrichtenden [...] und [ist] um so schwieriger unterrichtspraktisch zu realisieren [...], je mehr die Schüler an abgeschottetes Denken gewöhnt (worden) sind. [...] Ein wirklichkeitsorientierter Unterricht hat per se fachübergreifende Tendenz, ist wenig systemfreundlich (weil es die Wirklichkeit nicht ist) und kann wohl kaum im Seite-für-Seite-Abarbeiten eines Schulbuches bewerkstelligt werden.«[12]
a) Die Gerade.
Anschaulich kann die Gerade als Spur eines Punktes erklärt werden, der sich im Raum (in einer Ebene) auf einem Weg bewegt, der in jedem seiner Abschnitte die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten darstellt; anders gesagt: die Gerade ist (anschaulich) die Spur eines Punktes, der sich in einer Ebene bewegt, ohne jemals die Richtung seiner Bewegung zu ändern.
Achtung:„Unendlichkeit“ der Geraden ist nicht so relevant, dass sie verbalistische Übungen rechtfertigte!
Achtung: Umgangssprachlich ist „gerade“ so besetzt, dass von „schräg“ oder „schief“ und nicht nur von „krumm“ unterschieden wird! (Deshalb soll die Bezeichnung „Gerade“ nicht an den Haaren herbeigezogen, d. h. verbalistisch-definitorisch in einen erfahrungs- und anschauungslosen Raum hineingestellt werden.)
Anschauungsbildende Modelle:
Visieren: Eine vorhandene Strecke kann in beliebiger Länge ohne Richtungsänderung verlängert werden, indem durch Anvisieren über ihre beiden Endpunkte ein streckenfremder Punkt festgelegt wird, der kollinear zu den Strecken(end)punkten ist. (Beim Visieren nutzt man die (unter normalen Bedingungen) krümmungsfreie Ausbreitung des Lichtes.)
Schatten „fangen“: Lichtquelle (z. B. die Sonne), Punkt an einem Körper (z. B. an einem Papierschnitzel) und entsprechender Punkt im Schlagschatten des Körpers sind kollinear (Licht breitet sich geradlinig aus).
Eine Kugel, die auf einer ebenen, waagerechten Fläche drallfrei angestoßen wird, bewegt sich ohne Änderung der anfänglichen Richtung, solange keine andere Kraft auf die Kugel einwirkt. Sämtliche Punkte der Fläche, in denen die Kugel sie berührt, liegen auf einer Geraden.
Wenn auf einen Körper keine Kraft außer der Schwerkraft einwirkt, fällt er in Richtung Erdmittelpunkt.
Wenn ein geeigneter Faden gestrafft gehalten wird, glätten sich alle vorher gekrümmten Fadenbereiche. Jeder beliebige Fadenbereich ist ecken- und krümmungsfrei.
b) Der Kreis. Gegenstände kreisförmig anordnen lassen; das sich dabei ergebende Problem präzisiert die Vorerfahrung und das Vorwissen und führt zur Erkenntnis, dass die Kreislinie in jedem Teilabschnitt (in jedem Punkt) die gleiche Krümmung besitzt. - Das Wagenrad (mit Nabe, Speichen und Reifen) als Modell. - Der Streifen- oder Fadenzirkel.
c) Das Rechteck / das Quadrat. Schüler besitzen unterschiedliche Rechenhefte:„karierte“ bzw. „rautierte“. Wieviel cm misst eine Spalte von 10 Kästchen? - Diskrepanz nutzen, um auf die unterschiedliche Form (Quadrat bzw. nichtquadratisches Rechteck) aufmerksam zu machen. Diese Formen (aus freier Hand) an die Tafel zeichnen lassen.
d) Die Kugel. Im Gegensatz zu nichtkugelförmigen runden Körpern (z.B. Rollen) rollt die Kugel in jede Richtung, in die man sie auf einer ebenen Fläche stößt. Diese totale Beweglichkeit kann uns zur Feststellung bringen, dass die Kugel nur mit einem Punkt ihrer Oberfläche auf der Abrollebene aufliegt - bei zylindrischen Körpern handelt es sich um eine Mantellinie, also eine Strecke.
e) Der Quader / der Würfel.
Selbst Würfel aus verschiedensten Materialien und in den
verschiedenen jeweils geeigneten Techniken herstellen lassen; die
(zwangsläufig) auftretende Unzufriedenheit mit dem Produkt
für eine Erörterung der Würfeleigenschaften
(verschiedene Gesichtspunkte!) nutzen. -
Ein vom Lehrer hergestellter nichtwürfelförmiger, aber
quaderförmiger Spiel-„Würfel“
(Streichholzschachtel, mit Papier umklebt und mit Würfelaugen
bemalt) gibt im Spiel (wirklich spielen lassen!) andere
Häufigkeitsverteilungen als ein wirklich
würfelförmiger Spielwürfel; die auf die beiden
größten Flächen aufgemalten Augenzahlen kommen am
häufigsten, die auf die beiden kleinsten Flächen
aufgemalten Augenzahlen am seltensten vor. Woran liegt das? Was
müssen wir von einem richtigen Würfel erwarten? Welche
Gegenstände des täglichen Bedarfs werden
„Würfel“ genannt, ohne wirklich
würfelförmig zu sein? -
Warum werden für den Bau von Mauern
nichtwürfelförmige Quadersteine verwendet? (→
Parkettierung des Raumes)
f) Die Spiegelung / Achsensymmetrie.
α) Ästhetischer Zugang..
β) naturkundlicher Zugang..
γ) technischer Zugang (symmetrische Bauweise als Bedingung für das Funktionieren: Hampelmann, Drachen).
[1] Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 2. Klett, Stuttgart 1973. S. 376 f.
[2] Ebenda, S. 379
[3] Ebenda, S. 386
[4] Ebenda, S. 388
[5] Ebenda, S. 423
[6] Ebenda, S. 385f.
[7]Gerhard Holland: Geometrie für Lehrer und Studenten. Band 1. Schroedel, Hannover 1974. S. 9
[8] Ebenda, S. 7 und 10
[9] Inhetveen, Rüdiger: Philosophische Grundprobleme der Mathematik. In:Engfer, Hans-Jürgen (Hrsg.): Philosophische Aspekte schulischer Fächer und pädagogischer Praxis. Urban & Schwarzenberg, München, Basel, Baltimore 1978. S. 143 f.
[10] Ebenda, S. 145 f.
[11] Ebenda, S. 146.
[12] Bender, Peter: Umwelterschließung im Geometrieunterricht durch operative Begriffsbildung. In: Der Mathematikunterricht, Jg. 24, H. 5, November 1978, S. 25-87. Klett, Stuttgart. Zitate aus der Einführung in das Heftthema von Heinrich Winter, S. 5 f.