Zum Begriff der Länge

Jede Strecke hat eine Länge.
Über die Länge einer Strecke kann man auch ohne Angabe eines Vielfachen einer (genormten) Maßeinheit sprechen. Beispielsweise kann die Länge l_₁ einer Strecke s_₁ mit der Länge l_₂ einer Strecke s_₂ mit der Aussage l_₁=5·l_₂ verglichen werden.
Achtung: "5m" ist genau genommen keine Länge, sondern eine Längenangabe (und das nicht etwa aus dem Grunde, dass "5m" in Anführungszeichen gesetzt ist).

"A", "B" und "C" sind Punktbezeichnungen (Punktnamen).
Was sind nun "a", "b" und "c"?
Bezeichnungen (Namen) für Strecken? [← "a liegt gegenüber von A."]
Oder Angaben von Längen? [← "a = 5 cm"]
Was folgt aus der Annahme, mit "a" würde (in diesem Zusammenhang) beides - sowohl eine Strecke als auch eine Streckenlänge - bezeichnet sein? →???

Wegen
∀x.x=x und ∀x,y,z.(x=y∧x=z)⇒y=z
gilt:
(a = 5 cm ∧ a liegt gegenüber von A) ⇒ 5 cm liegt gegenüber von A.
Da für eine Länge die Relation "liegt gegenüber von" nicht definiert ist, ist die Prämisse "a = 5 cm ∧ a liegt gegenüber von A" falsch.

Weiter: Was sind "a", "b" und "c" in der pythagoreischen Gleichung "a²+b²=c²"?
Ist beispielsweise "a" eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks (oder ihr Name) und die Kante des Quadrats über dieser Kathete (oder deren Name)? →???

Katheten sind Dreiecksseiten. Dreiecksseiten sind Strecken. In der Menge der Strecken ist eine Potenzierung nicht definiert. Daher können "a", "b" und "c" in der pythagoreischen Gleichung nicht die Dreiecksseiten bezeichnen.

Oder die Länge einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks und die Länge der Kante des Quadrats über dieser Kathete? →???

???

Oder die Maßzahl der Länge einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks und die Maßzahl der Kante des Quadrats über dieser Kathete? →???

???

Was sind "a²", "b²" und "c²" in der pythagoreischen Gleichung "a²+b²=c²"?
Die Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? →???

In der Menge der Quadrate ist eine Addition nicht definiert. Daher hat die pythagoreische Gleichung unter dieser Prämisse keinen Sinn.

Die Flächeninhalte der Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? →???

Im Größenbereich der Flächeninhalte ist keine Verknüpfung "Radizieren" definiert. Der Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt A und der Kantenlänge l eines Quadrats kann daher nicht einfach durch eine Gleichung √A = l hergestellt werden. Vielmehr ist der Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Kantenlänge l = l L.E. wie folgt definiert: A = A F.E. = l² F.E.
Somit gilt zwar nicht √A = l, aber es gilt √A = l.

Die Maßzahlen der Flächeninhalte der Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? →???

???