Gerhart Dieter Greiß
Ausbilder am Studienseminar für die Lehrämter in Korbach

Mathematikdidaktische Seminare

Arbeitsplan

Die zeitliche Abfolge, in der die einzelnen mathematikdidaktischen Themen behandelt werden, ergibt sich entsprechend dem Konzept eines offenen Curriculums im wesentlichen unter zwei Aspekten: unter dem Aspekt der aktuellen Interessen der Seminarteilnehmer und unter dem Aspekt der Ausbildungsrelevanz je nach Ausbildungsstand der einzelnen Seminarteilnehmer. Sofern beträchtliche Unterschiede in den Ausbildungsständen und/oder Bedürfnissen der Seminarteilnehmer dies erforderlich machen, wird die Seminararbeit differenziert zu gestalten sein.

1.  Behandlung mathematikdidaktischer Grundfragen

1.1.  Auf der Grundlage des Standes der mathematikdidaktischen Diskussion und der von der Schulaufsicht verordneten Vorschriften ergibt sich die ausbildungsdidaktische Richtlinie für alle Seminarvorhaben sowohl in inhaltlicher als auch in seminarmethodischer Hinsicht aus den Grundsätzen eines prozessorientierten Mathematikunterrichts.

Für Prozessorientierung des Mathematikunterrichts werden folgende Merkmale als charakteristisch angesehen:

• a) Die mathematischen Inhalte werden nicht einfach nur unter fachlich-systematischem Aspekt thematisiert. Ihre Thematisierung und didaktische Aufbereitung sowie die gesamte unterrichtsmethodische Konstruktion sind darauf gerichtet, nach aller Möglichkeit das sachbezogene Interesse der Lernenden zu wecken und zu erhalten und zum Mittelpunkt der Unterrichtsarbeit werden zu lassen. Die Unterrichtsthemen werden unter dem Aspekt der Beziehungshaltigkeit der Mathematik so aufbereitet, dass der Lernende nicht nur innermathematische Zusammenhänge erkennt, sondern darüber hinaus konkret die Bedeutung erfährt, die das Mathematiklernen für das erkennende Erfahren und durchdachte Handeln in der Lebenswirklichkeit hat.
• b) Handlungsbezogene Modellierungen ermöglichen den Lernenden, die mathematischen Inhalte möglichst selbständig zu erschließen.
• c) Ein situationsgerechter Wechsel zwischen verschiedenen Sozialformen gewährleistet,
  * dass Lehrender und Lernende die wesentlichen Züge der Lernaufgabe klären,
  * dass jeder Schüler Zeit hat, die Lernaufgabe eigenständig anzugehen,
  * dass die Lernenden sich mit ihren Problemklärungsversuchen und Lösungsansätzen gegenseitig anregen und durch ein Wechselspiel von Argumenten gemeinsam den Lösungsweg oder dessen Grundlagen erkennen können,
  * dass die strukturellen Züge des Erkannten klar herausgearbeitet werden und
  * dass das Gelernte ökonomisch und effektiv geübt wird.
• d) Das Urteilen darüber, welche Ansätze und Lösungen den Erkenntnisprozess voranbringen oder als Sackgasse anzusehen sind, richtig oder falsch sind, unter ökonomischem Aspekt günstig oder umständlich erscheinen, als brillant oder als überarbeitungsbedürftig gelten können, ist Bestandteil des Lernprozesses. Wo die Sachautorität des Lehrenden (und/oder einiger Lernender) gefragt ist, geschieht dies in einem dialogischen Lehrverhalten, in dem intellektuelle Einfühlung in die Denkansätze und Probleme der Lernenden zum Tragen kommt, und durch Aufzeigen von geeigneten Lernhilfen.

1.2. Die Seminarteilnehmer sollen durch Austausch untereinander und mit dem Seminarleiter darin unterstützt werden, ihre mathematikdidaktischen Grundpositionen zu klären, zur Sprache zu bringen und zur Disposition zu stellen.

Die mathematikdidaktische Grundposition des Seminarleiters ist mit folgenden Thesen umrissen:

• a) Was die Aufgabe des Mathematikunterrichts sei, kann hinreichend nicht aus der Unterrichtswirklichkeit an den Schulen, aus den Forderungen der gesellschaftlichen "Abnehmer" und aus der Hochschulmathematik abgeleitet werden.
• b)  Unterricht in Mathematik hat sich an der Frage zu orientieren, was Mathematik für den Menschen bedeute.
  Um in seiner Lebenswelt sich zurechtfinden und mit Orientierung handeln zu können, strukturiert man sie gedanklich: Man treibt Mathematik.
  Damit man beim Lösen von Problemen nicht immer wieder aufs neue auf die Erfahrung mit ihren Um- und Irrwegen angewiesen ist, macht man seine Lebenswelt "berechenbar": Man treibt Mathematik.
  Dazu verschafft man sich Erkenntnisse über Gesetzmäßigkeiten, schafft man sich Maße und entwickelt man handhabbare Modelle: Man treibt Mathematik.
  Die mathematischen Einsichten und das mathematische Instrumentarium müssen "verwaltet" werden: ihre innere Widerspruchsfreiheit muss überprüft und ihre Ökonomie muss optimiert werden, und aus der Klärung ihres Beziehungsgeflechts könnten neue Einsichten, Instrumente oder Techniken gewonnen werden.
• c)  Die Frage nach den Motiven und Zugängen zum Mathematisieren ist anthropologisch, nicht innerfachlich zu klären. Was macht unser Leben aus, was umgibt uns und hat Bedeutung für uns? Es sind dies folgende elementare Erlebnisqualitäten:
  Schön Anmutendes vs. hässlich Anmutendes
  Gerechtes vs. Ungerechtes
  aufeinander Bezogenes vs. Chaotisches
  Geregeltes vs. Willkürliches
  Die einschlägigen Erlebnisse sind es, die einem Fragen aufdrängen: Wieso kommt mir das so vor? Wie ist das eigentlich? Unter welchen Bedingungen ist das so? Wie ist das entstanden oder begründet? Ist das so eigentlich erwünscht? Ist es gesetzmäßig? Wie sollte es sein? Im Konkreten haben diese Fragen vielfach mathematischen Charakter.

1.3.  Die Seminarteilnehmer sollen bei der Klärung, Differenzierung und Erweiterung ihrer mathematikdidaktischen Grundposition auch durch Kenntnisnahme und Erörterung der schul- und ausbildungsrechtlich verbindlichen Vorgaben unterstützt werden.

Dazu gehören im wesentlichen die folgenden Setzungen:
Die Schule ist kein Ort, an dem nur Stoff oder Inhalte vermittelt werden, die man lernt und behält. Bildung erhält ihren Stellenwert nicht nur deswegen, weil technischer Fortschritt, Wirtschaftswachstum und soziale Sicherheit von der Leistungsfähigkeit des Bildungswesens und der Forschung abhängen. Vielmehr entfalten Bildung und Wissenschaft individuelle und kulturelle Eigenwerte, die die Voraussetzung sind für die notwendige Humanisierung der technischen Zivilisation und für den Fortbestand der freiheitlich-demokratischen Gesellschaftsform. Bildung soll den Menschen befähigen, sein Leben selbst zu gestalten. Die zu vermittelnden Kenntnisse (Lernstoff) sind nicht Selbstzweck, sondern stehen in Verbindung mit den angestrebten Erziehungs- und Lernzielen. Beim Vermitteln von Kenntnissen und Fertigkeiten muss daher der Lehrer beim Schüler das Verständnis für das zu Lernende wecken und den Zusammenhang der Dinge sichtbar machen; vor allem muss er bei den Schülern je nach ihrer Reife die Fähigkeit entwickeln, Grundprinzipien des Gelernten auf ähnliche oder neue Aufgaben zu übertragen, Problembewusstsein, problemlösendes Denken und Kreativität zu pflegen und zu fördern und ihnen die Einsicht in die Notwendigkeit solidarischen Handelns vermitteln.
Mathematik sollte im Unterricht nicht als Fertigprodukt vermittelt werden. Deshalb kommt u. a. den Prozessen des Problemlösens und der Begriffsbildung sowie der Entwicklung von Algorithmen besondere Bedeutung zu. Für diesen Mathematikunterricht charakteristisch sind: Mathematisieren, Argumentieren, Strukturieren, Axiomatisieren. Dieser Prozesscharakter von Mathematik wird dann vermittelt, wenn die Schüler auch die affektiven, psychomotorischen und sozialen Komponenten von Mathematiklernen erfahren.
Der Unterricht soll so gestaltet werden, dass
- sachbezogene Motivation gefördert wird,
- die wechselseitige Beziehung zwischen Mathematik und Umwelt hergestellt wird,
- schöpferisches Denken und Selbständigkeit gefördert werden,
- Kommunikation und Kooperation gefördert werden,
- sprachliche Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand (Verbalisieren) gefördert wird,
- sich bei allen Schülern ein geordneter Raster mathematischer Begriffe, Fakten und Verfahren entwickelt,
- die Schüler Querverbindungen zwischen der Mathematik und anderen Lernbereichen erkennen können.

Der Mathematikunterricht soll lebensnah, praxisbezogen, erfahrungs- und anwendungsorientiert sein, auf konkreten Handlungen aufbauen, mathematische Denkweisen und Fähigkeiten entwickeln, durch intensives Üben sichere Beherrschung der vier Grundrechenarten erreichen und weitere grundlegende Kenntnisse und Fertigkeiten entwickeln, behutsam an die mathematische Fachsprache heranführen, durch differenzierende Maßnahmen jede Schülerin und jeden Schüler bestmöglich fördern, den Schülerinnen und Schülern ihren individuellen Lernfortschritt aufzeigen und soziales Lernen ermöglichen und verstärken.

1.4.  Die im folgenden genannten didaktische Begriffe und Konzepte sollen sich den Referendaren in ihrem systematischen didaktischen Zusammenhang und stets im Kontext mit tatsächlicher Unterrichtsplanung und -auswertung erschließen:

1.4.1.  Die semiotischen Dimensionen des Mathematiklernens (syntaktische / semantische / pragmatische Dimension) [H. Winter].

1.4.2. Didaktische Reduktion als Rückführung des zu thematisierenden Unterrichtsinhalts auf die Handlungsinteressen und die kognitiven Entwicklungsstände der Lernenden. Die didaktische Reduktion (H. Roth, M. Wagenschein) oder didaktische Elementarisierung (H. Pestalozzi, W. Klafki) ist als zentrales Prinzip für die Unterrichtsplanung der methodischen Konstruktion von Unterrichtsprozessen über- und vorgeordnet.13

1.4.3.  Mathematikdidaktische Modellbegriffe (insbesondere: der Begriff des didaktischen Modells [H. Winter] und der Begriff der "didaktischen Isomorphie" [W. Breidenbach, Präzisierung durch H. Griesel], und die Funktionen von Modellen für das Mathematiklernen:

1.4.3.1.  Mathematische Modellierung von Realität (Mathematisierung).

1.4.3.2.  Einsichtschaffende Modellierung mathematischer Sachverhalte (Veranschaulichung).

1.4.4.  Handlungsorientierter Mathematikunterricht.

1.4.5.  Problemorientierter Mathematikunterricht. Heuristische Instrumente und Verfahren zur Lösung von mathematisierbaren Problemen ("Sachaufgaben"). [G. Polya, R. Oerter, Fries / Rosenberger].

1.4.6.  Komplementäre methodische Elemente:

1.4.6.1.  Formen und Funktionen des Unterrichtsgesprächs.

1.4.6.2.  Formen und Funktionen selbständigen Arbeitens.

1.4.7.  Pädagogisch-didaktische Probleme der Lernzieldefinition für den Mathematikunterricht:

1.4.7.1.  Legitimationskrise der inhaltsorientierten Mathematikdidaktik: wozu; wann; worum geht es eigentlich in gesamtcurricularer Hinsicht?

1.4.7.2.  Erziehungs- und gesellschaftswissenschaftliche Grundpositionen:
- Lernen als Verhaltensänderung (Aufbau von erwünschten Reiz-Reaktions-Verbindungen) (behavioristisch orientierte Pädagogik);
- Lernen als Erweiterung und Differenzierung der kognitiven Struktur (kognitionspsychologisch orientierte Pädagogik);
- Lernen als Anpassung an gesellschaftliche Anforderungen;
- Lernen als Entwicklung einer (rational, moralisch und pragmatisch dimensionierten) Persönlichkeitsstruktur, die den einzelnen befähigt, sich aktiv und verantwortlich mit der Welt auseinanderzusetzen (J. Piaget, J. S. Bruner, H. Aebli, H. Roth).

1.4.7.3. Übergeordnete Zielsetzungen des Mathematikunterrichts (siehe zum Beispiel die oben definierten Zielsetzungen nach H. Winter) als Vor-Entscheidungen mit Konsequenzen für die Festlegung der Unterrichtsinhalte und -methodik.

1.4.7.4.  Vorteile einer operationalisierten Lernzielbeschreibung (Robert F. Mager, Bernhard und Christine Möller).

1.4.7.5.  Pädagogisch-didaktische Bedenken gegen die Praxis der operationalisierten Lernzielbeschreibung (J. Flügge, H.-G. Bigalke, H. Aebli).

1.4.7.6.  Alternativen zum lernzielorientierten Mathematikunterricht (H. Aebli, H.-G. Bigalke).

1.4.8. Pädagogisch-psychologische Grundlegung der Planung des Verlaufs von Mathematikunterricht.

1.4.9.  Was ist mathematisches Wissen? Die Funktionen von Einsicht und Gedächtnis beim Mathematiklernen. (Beispiel: das "kleine Einsmaleins".)

1.4.10.  Didaktische Prinzipien:
a) Genetisches Prinzip (Wagenschein, Freudenthal, Fletcher).
b) Prinzip des exemplarischen Lehrens und Lernens als Prinzip, die Priorität von Einzelstoffen und das durch sie repräsentierte Allgemeine zu bestimmen (WITTENBERG, WAGENSCHEIN, KLAFKI). (Ähnlich besetzte Begriffe: Vertiefung durch Beschränkung; Lernen am Modellfall; Lernen am prägnanten Fall; Prinzip der repräsentativen Erkenntnis; Rückgang auf die Urphänomene, Urerfahrungen, Ursprungssituationen; Pädagogik des fruchtbaren Moments (COPEI); kategoriale Bildung (KLAFKI).)
c) Prinzip der Elementarität - Herausarbeitung des Grundlegenden aus geeigneten einfachen Einzelfällen (PESTALOZZI, KERSCHENSTEINER, WITTENBERG, WAGENSCHEIN).
d) Prinzip des beziehungshaltigen Lehrens und Lernens (FREUDENTHAL, WINTER, KOTHE).
e) Prinzip der originalen Begegnung (H. ROTH)
f) Operatives Prinzip (AEBLI, FRICKE, BESUDEN, E. WITTMANN).
g) Prinzip der angemessenen Repräsentation und des intermodalen Transfers (BAUERSFELD).
h) Prinzip der Variation der Veranschaulichung (DIENES).
i) Prinzip der mathematischen Variation (DIENES).
j) Aufbauprinzip (Konstruktion vor Analyse) = Prinzip des konstruktiven Denkens (DIENES).
k) Prinzip der flexiblen Diskussion (BAUERSFELD).
l) Prinzip des sokratischen Lehrens (WAGENSCHEIN).
m) Prinzip des problemorientierten Lehrens und Lernens (POLYA, WERTHEIMER, FRIES, ROSENBERGER).
n) Prinzip des entdeckenlassenden Lehrens (BRUNER, FLOER, E. WITTMANN).
o) Prinzip des Mutes zur Lücke und zur Gründlichkeit (WAGENSCHEIN).
p) Prinzip des ganzheitlichen Lehrens und Lernens (KARASCHEWSKI, JOHANNES WITTMANN, ODENBACH).
q) Prinzip der dynamischen Lernschritt-Abfolge ("dynamisches Prinzip") (DIENES).
r) Prinzip der kleinen und kleinsten Lernschritte (BREIDENBACH).
s) Prinzip der Isolierung der Schwierigkeiten (BREIDENBACH).
t) Prinzip der didaktischen Isomorphie (Breidenbach).

Wie wichtig es ist, sich mit den didaktischen Konzepte, Prinzipien und Begriffen in ihrer systematischen Verschränkung zu befassen statt sie isoliert voneinander zu betrachten und gegeneinander auszuspielen, soll beispielhaft mindestens an der Komplementarität der Konzepte des genetischen und des erläuternden Mathematikunterrichts deutlich werden15. Eine bewusste und reflektierte Betrachtung der Komplementarität beider Unterrichtsweisen könnte möglicherweise die Gesamteffektivität steigern.

Weitere allgemeindidaktische Dualismen, unter denen Mathematikunterricht zu reflektieren ist und die mit Gewinn für seine Gesamteffektivität weniger in ihrem Antagonismus als vielmehr in ihrer Komplementarität zu betrachten sind:
- Kognitionspsychologie (J. Piaget, J. S. Bruner, Leontjew, D. P. Ausubel, H. Aebli) versus Behaviorismus (Skinner, R. F. Mager, Christine und Bernhard Möller);
- entdeckenlassender Unterricht (J. S. Bruner, Z. P. Dienes, H. Winter) versus darbietender/erläuternder Unterricht (D. P. Ausubel);
- lernzielorientierter Unterricht versus lernzielbegleiteter, schülerorientierter Unterricht (J. Flügge, H.-G. Bigalke);
- Aufgabendidaktik (W. Breidenbach) versus Strukturorientierung (New Math, Neue Mathematik) versus genetische Didaktik (Wittenberg, M. Wagenschein, H. Freudenthal);
- Orientierung an der fachimmanenten Systematik versus Anwendungsorientierung versus Lebensnähe.

2.  Didaktik ausgewählter mathematischer Themenbereiche

Die Lehramtsreferendare sollen in ihrer sachanalytischen Kompetenz unterstützt werden. Zugleich soll ihnen nahegelegt werden, die Unterrichtsziele nicht nur auf gegenstandstheoretische Betrachtungen und auf ihren systematischen Zusammenhang mit dem bereits Vermittelten und dem künftig zu Lehrenden zu gründen, sondern immer auch auf plausible Antworten nach den Erscheinungsformen und nach der Bedeutung des geplanten Unterrichtsinhalts im gegenwärtigen und zukünftigen Leben der Lernenden.

2.1. Arithmetik:

Bildung der Zahlbegriffe.

Aufbau der Zahlverknüpfungen.

Prinzipien der Zahldarstellung durch das Stellenwertsystem.

Operatorenverkettung und ihre Eigenschaften.

Was heißt "Rechnen"? Eigenschaften arithmetischer Verknüpfungen und ihre Anwendung beim Rechnen: Kommutativität der "aufbauenden" Verknüpfungen und der additiven Operatoren ("Strich-Operatoren") bzw. der multiplikativen Operatoren ("Punkt-Operatoren"); Assoziativität; Distributivität der Multiplikation und der Division bezüglich der Addition und der Subtraktion; Regularität; Ausgleichsregeln.

2.2. Algebra:

Umgang mit Gleichungsaussagen und Gleichungsformen. (Gleichgewicht als Gleichungsmodell.)

Visualisierende Hilfen für einsichtige Umformung von Termen und Gleichungen.

2.3. Aussagenlogik:

Mengenalgebraische Lösung aussagenlogischer Probleme.

2.4.  Geometrie:

Umwelterschließung durch geometrischen Unterricht. Sachlogisches Argumentieren im Wechselspiel mit sinnlicher Wahrnehmung.

2.5.  Größenbereiche:

Die Didaktik der Größenbereiche nach Griesel und andere, schülergerechte Konzepte.

2.6.  Mathematische Darstellungsformen:

Tabellen, Pfeildiagramme, Venndiagramme, Situationsskizzen, Simplex- und Komplexdarstellungen (W. Breidenbach), Baumdiagramme, Nomogramme, Graphen im Gitternetz.

3.  Verfassen mathematikdidaktischer Ausarbeitungen

Die Seminarteilnehmer sollen zum Verfassen praxisorientierter und theoretisch fundierter mathematikdidaktischer Ausarbeitungen unter folgenden Kriterien befähigt werden:

3.1.  Zur Didaktik des darzustellenden Unterrichts

Die didaktischen Absichten müssen für die unterrichteten Schüler relevant und angemessen sein.

Je komplexer die pragmatischen Ziele (Haltungen, Gewohnheiten) sind, desto tiefer und spezifizierter muss der Verfasser die in ihnen implizierten oder von ihnen vorausgesetzten syntaktischen und semantischen Lernprozesse erschließen. Er muss bedenken, wie er die lebensnahen Handlungen und ihre fachlichen Implikationen und Voraussetzungen unterrichtsmethodisch aufeinander beziehen kann, so dass einerseits die für die lebenspraktischen Situationen notwendige fachliche Kompetenz (mindestens) angebahnt wird und andererseits die dafür erforderliche fachliche Auseinandersetzung aus der Lebenserfahrung heraus motiviert sein kann.

Je höhere Anforderungen das Thema an die mathematische Erkenntnisarbeit der Kinder stellt, desto sorgfältiger muss der Verfasser die Voraussetzungen (Lernstände, -fähigkeiten und -stile) ermitteln, die seine Schüler für die Bewältigung dieser Anforderungen mitbringen.

Je unterschiedlicher diese themarelevanten Lernvoraussetzungen seiner Schüler sind, desto notwendiger ist es, den Unterricht zu differenzieren, und zwar mit folgenden Perspektiven:
a) für individuell passende Einstiege und Schwerpunkte zu sorgen, damit festgestellte Defizite hinreichend ausgeglichen und fortgeschrittene Ausgangslagen befriedigend berücksichtigt werden, und
b) den unterschiedlichen Lernfähigkeiten und -stilen mit adäquaten Methoden gerecht zu werden. In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klären, ob und gegebenenfalls wie die Intentionen - bei gleicher Kernintention - in differenzierten Modifikationen den Lernenden zuzuordnen sind. Das didaktisch-psychologische Prinzip der schülerangemessenen und zugleich lernzieltreuen Lernarbeit auf unterschiedlichen Repräsentationsebenen (didaktische Differenzierung) ist dabei von besonderer Bedeutung.

Je lebensnäher die Unterrichtsarbeit sein soll, desto umsichtiger muss der Verfasser die unterschiedlichen einschlägigen lebenspraktischen Vorerfahrungen der Kinder erkunden und berücksichtigen.

Je unterschiedlicher die themarelevanten lebenspraktischen Erfahrungen der Schüler sind, desto notwendiger ist eine ausgleichende Differenzierung des Unterrichts.

In dem Maße, in dem die Unterrichtsziele auch tiefere Persönlichkeitsschichten (Einstellungen, Wertschätzungen, Haltungen) betreffen, muss der Verfasser mit individuellen Entwicklungsständen, -antrieben und -hemmungen seiner Schüler rechnen und sich einfühlsam auf sie einstellen.

3.2.  Zur Darstellung der Didaktik des Unterrichts

Der Verfasser muss die wesentlichen pädagogischen und didaktischen Zusammenhänge explizieren. Dabei soll sein pädagogischer, fachwissenschaftlicher, fachdidaktischer und fachmethodischer Kenntnis- und Erkenntnisstand zum Tragen kommen.

Die Ergebnisse eigenständiger geistiger Arbeit (Ideen, Herleitungen, Problemdarstellungen, Konkretisierungen, Diskussion von Alternativen, Bewertungen von Handlungsansätzen, Auswertung von Erfahrung, Herstellung von Begründungszusammenhängen, Analysen komplexer Strukturen, ...) sollten das Übernommene überwiegen.

3.3.  Zur Form der didaktischen Ausarbeitung

Die Form der mathematikdidaktischen Ausarbeitung muss den Ansprüchen genügen, wie sie für wissenschaftliche Hausarbeiten gelten. Eigenständige geistige Arbeit und Übernommenes müssen klar voneinander unterschieden werden können.

Version: 2004-01-20